今天是 π 节,我介绍个非常有趣的计算圆周率的方法。中文互联网上似乎还没人提过。

2018/7/5更新:我发现简书上的安安以迁迁在我写这篇文章两个月之前就写过这个话题,且写得比我好多了,所以这篇文章已经没有任何价值了。

机理非常的简单,如下图的两个球,最左边是墙,假设无摩擦、一切碰撞都是弹性的。

当右边的球向左运动时,球和球、球和墙之间就会各种啪啪啪。我们来数数,如果两球质量相等,整个系统会发生几次碰撞。

很显然,3 次。好像没什么特别的。那如果蓝球的质量是红球的 100 倍呢?

31 次,看出什么来了吗?可能还没。但假如你足够有耐性,你可以验证当蓝球的质量是红球的 10000 倍时,总共会有 314 次碰撞;1000000 时,3141 次;102n 倍时,就可以得到 π 的小数点后 n 位。π 就这样在一个跟圆怎么看都毫无关系的地方以这种不带小数点的奇葩方式出现了。不知道你怎么样,反正我第一次看到的时候是震惊之后半信半疑的。

所以建议大家去读下原论文,证明简单巧妙,令人欲罢不能。我保证聪明点的高中生都能基本读懂,不信你看作者自己说的,

The author created the billiard method for finding π when he was preparing a mathematical colloquium talk at Eastern Illinois University about balls’ collisions (the so-called “Sinai’s Problem”). When the procedure was presented to the audience, no one believed it at first, but then the author gave a proof, the ease of which convinced everyone.

圆在哪

费曼每次看到有 π 的式子都会问:“圆在哪?”找到那个圆往往能带来对问题的直观理解。另一个计算 π 的非常规方法——布丰投针,就有一个漂亮的直观解释。那这种方法的圆在哪?论文里虽然有圆,但算不上很直观。而这个直观的圆还要能给出 π 的前几位,我还没想出来,不知道大家有没有什么想法?

2018/3/14 更新:

  1. 前几天 3Blue1Brown 做了个视频,优美地解释了贝塞尔问题中 π 的出现,十分推荐。
  2. 刚刚霍金去世了,虽然他并没有流行文化中认为的那么厉害,但确实在我的启蒙时代极大地影响了我,让我了解到了物理世界的美妙,谢谢他。